n阶高阶齐次、非齐次线性微分方程的通解怎么求？-焦点资讯

周围有很多同学有这样的疑惑，就是如果一个线性微分方程的阶数特别高，有很多的实根和虚根，还涉及重根、单根的问题，就糊涂了，不知道通解长什么样。我简单翻了一下同济版的高等数学教材，上面似乎只讲了二阶线性微分方程的通解的内容，所以这里我对任意n阶线性微分方程的通解形式进行一下补充。由于我也是学生，有问题请指正哈。

先引入问题，这是一个八阶齐次线性微分方程的特征根方程，那么通解长什么样？

(资料图片)

其实，不管多少阶，我们按照以下方法来分析：

1、n阶特征根方程一定有 n 个根，求出这 n 个根。

2、将所有不重复的所有实根放在一块，这些实根组成了通解的一部分，它们是：

3、接下来讨论重复的实根。对于任何一个实根 r ，如果它的重数是 m，那么其构成通解的那一部分是：

4、最后讨论虚根，要记住：虚根不可以单独讨论，因为如果一个方程有虚根 a + bi，那么它一定也有共轭虚根 a - bi，它们是一对的。所以，对于任何一对虚根 a ± bi，如果它们的重数是 m，那么其构成的通解的那一部分是：

将这些通解的部分都加起来，就得到了整个通解。

让我们回到问题，在这个问题中，r 有 8 个根，显然它有两个实根 √2 和 -√2，此外，它有六个虚根，三个i，三个-i。

两个实根组成的通解部分是：

有六个虚根，三个i，三个-i，也就是有一对虚根 ±i，重数为3，所以组成的通解部分为：

因此，本题的答案是：

非齐次线性微分方程不过就是在齐次线性微分方程通解的基础上加上特解，这个同济版高等数学上面有求法，也就是分为 p(x)expαx 和 [p(x)cosβx + q(x)sinβx]expαx两种情况，这个如果不会，请看书。

值得一提的是，如果方程右侧部分不是一个f(x)的方程，而是多个关于x的方程，例如：

显然，等式右侧是 f(x) = x^2 和 g(x) = sin2x 组成的，这个时候只要分别求 y(2) + y(1) + y = f(x) 和 y(2) + y(1) + y = g(x) 的特解，然后将这两个特解相加，就是整个方程的特解了。加上对应的齐次线性微分方程的通解，就是本题的通解。这个原因很简单，请自己去想。

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